Python 数据结构和算法
搞懂Python 时间复杂度和空间复杂度的转换关系
算法定义
算法（Algorithm）是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
一个算法应该具有以下七个重要的特征：
有穷性（Finiteness）：算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止；
确切性(Definiteness)：算法的每一步骤必须有确切的定义；
输入项(Input)：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件；
输出项(Output)：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的；
可行性(Effectiveness)：算法中执行的计算步骤可以分解为可执行的操作步，每个计算步可以在有限时间内完成；
高效性(High efficiency)：执行速度快，占用资源少；
健壮性(Robustness)：对数据响应正确。
评价算法的好坏用渐近时间复杂度和渐近空间复杂度。渐近时间复杂度的大O标记：
常量时间复杂度：布隆过滤器 / 哈希存储
对数时间复杂度：折半查找（二分查找）
线性时间复杂度：顺序查找 / 计数排序
对数线性时间复杂度：高级排序算法（归并排序、快速排序）
平方时间复杂度：简单排序算法（选择排序、插入排序、冒泡排序）
立方时间复杂度：Floyd算法 / 矩阵乘法运算
几何级数时间复杂度：汉诺塔
阶乘时间复杂度：旅行经销商问题 - NPC
排序算法（选择、冒泡和归并）和查找算法（顺序和折半)
def select_sort(items, comp=lambda x, y: x < y):
"""简单选择排序"""
items = items[:]
for i in range(len(items) - 1):
min_index = i
for j in range(i + 1, len(items)):
if comp(items[j], items[min_index]):
min_index = j
items[i], items[min_index] = items[min_index], items[i]
return items
def bubble_sort(items, comp=lambda x, y: x > y):
"""冒泡排序"""
items = items[:]
for i in range(len(items) - 1):
swapped = False
for j in range(len(items) - 1 - i):
if comp(items[j], items[j + 1]):
items[j], items[j + 1] = items[j + 1], items[j]
swapped = True
if not swapped:
break
return items
def bubble_sort(items, comp=lambda x, y: x > y):
"""搅拌排序(冒泡排序升级版)"""
items = items[:]
for i in range(len(items) - 1):
swapped = False
for j in range(len(items) - 1 - i):
if comp(items[j], items[j + 1]):
items[j], items[j + 1] = items[j + 1], items[j]
swapped = True
if swapped:
swapped = False
for j in range(len(items) - 2 - i, i, -1):
if comp(items[j - 1], items[j]):
items[j], items[j - 1] = items[j - 1], items[j]
swapped = True
if not swapped:
break
return items
def merge(items1, items2, comp=lambda x, y: x < y):
"""合并(将两个有序的列表合并成一个有序的列表)"""
items = []
index1, index2 = 0, 0
while index1 < len(items1) and index2 < len(items2):
if comp(items1[index1], items2[index2]):
items.append(items1[index1])
index1 += 1
else:
items.append(items2[index2])
index2 += 1
items += items1[index1:]
items += items2[index2:]
return items
def merge_sort(items, comp=lambda x, y: x < y):
return _merge_sort(list(items), comp)
def _merge_sort(items, comp):
"""归并排序"""
if len(items) < 2:
return items
mid = len(items) // 2
left = _merge_sort(items[:mid], comp)
right = _merge_sort(items[mid:], comp)
return merge(left, right, comp)
def seq_search(items, key):
"""顺序查找"""
for index, item in enumerate(items):
if item == key:
return index
return -1
def bin_search(items, key):
"""折半查找"""
start, end = 0, len(items) - 1
while start <= end:
mid = (start + end) // 2
if key > items[mid]:
start = mid + 1
elif key < items[mid]:
end = mid - 1
else:
return mid
return -1
常用算法
穷举法 - 又称为暴力破解法，对所有的可能性进行验证，直到找到正确答案。
贪婪法 - 在对问题求解时，总是做出在当前看来最好的选择，不追求最优解，快速找到满意解。
分治法 - 把一个复杂的问题分成更多更小的子问题，直到可以直接求解的程度，最后将子问题的解进行合并得到原问题的解。
回溯法 - 回溯法又称为试探法，按选优条件向前搜索，当搜索到某一步发现原先选择并不优或达不到目标时，就退回一步重新选择。
动态规划 - 基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解并保存这些子问题的解，避免产生大量的重复运算。
穷举法 - 五人分鱼
# 公鸡5元一只 母鸡3元一只 小鸡1元三只
# 用100元买100只鸡 问公鸡/母鸡/小鸡各多少只
for x in range(20):
for y in range(33):
z = 100 - x - y
if 5 * x + 3 * y + z // 3 == 100 and z % 3 == 0:
print(x, y, z)
# A、B、C、D、E五人在某天夜里合伙捕鱼 最后疲惫不堪各自睡觉
# 第二天A第一个醒来 他将鱼分为5份 扔掉多余的1条 拿走自己的一份
# B第二个醒来 也将鱼分为5份 扔掉多余的1条 拿走自己的一份
# 然后C、D、E依次醒来也按同样的方式分鱼 问他们至少捕了多少条鱼
fish = 6
while True:
total = fish
enough = True
for _ in range(5):
if (total - 1) % 5 == 0:
total = (total - 1) // 5 * 4
else:
enough = False
break
if enough:
print(fish)
break
fish += 5
贪婪法
假设小偷有一个背包，最多能装20公斤赃物，他闯入一户人家，发现如下表所示的物品。很显然，他不能把所有物品都装进背包，所以必须确定拿走哪些物品，留下哪些物品。
| 名称 |
价格（美元） |
重量（kg） |
| 电脑 |
200 |
20 |
| 收音机 |
20 |
4 |
| 钟 |
175 |
10 |
| 花瓶 |
50 |
2 |
| 书 |
10 |
1 |
| 油画 |
90 |
9 |
"""
贪婪法：在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，不追求最优解，快速找到满意解。
输入：
20 6
电脑 200 20
收音机 20 4
钟 175 10
花瓶 50 2
书 10 1
油画 90 9
"""
class Thing(object):
"""物品"""
def __init__(self, name, price, weight):
self.name = name
self.price = price
self.weight = weight
@property
def value(self):
"""价格重量比"""
return self.price / self.weight
def input_thing():
"""输入物品信息"""
name_str, price_str, weight_str = input().split()
return name_str, int(price_str), int(weight_str)
def main():
"""主函数"""
max_weight, num_of_things = map(int, input().split())
all_things = []
for _ in range(num_of_things):
all_things.append(Thing(*input_thing()))
all_things.sort(key=lambda x: x.value, reverse=True)
total_weight = 0
total_price = 0
for thing in all_things:
if total_weight + thing.weight <= max_weight:
print(f'小偷拿走了{thing.name}')
total_weight += thing.weight
total_price += thing.price
print(f'总价值: {total_price}美元')
if __name__ == '__main__':
main()
分治法 - 快速排序
"""
快速排序 - 选择枢轴对元素进行划分，左边都比枢轴小右边都比枢轴大
"""
def quick_sort(items, comp=lambda x, y: x <= y):
items = list(items)[:]
_quick_sort(items, 0, len(items) - 1, comp)
return items
def _quick_sort(items, start, end, comp):
if start < end:
pos = _partition(items, start, end, comp)
_quick_sort(items, start, pos - 1, comp)
_quick_sort(items, pos + 1, end, comp)
def _partition(items, start, end, comp):
pivot = items[end]
i = start - 1
for j in range(start, end):
if comp(items[j], pivot):
i += 1
items[i], items[j] = items[j], items[i]
items[i + 1], items[end] = items[end], items[i + 1]
return i + 1
回溯法 - 骑士巡逻。
"""
递归回溯法：叫称为试探法，按选优条件向前搜索，当搜索到某一步，发现原先选择并不优或达不到目标时，就退回一步重新选择，比较经典的问题包括骑士巡逻、八皇后和迷宫寻路等。
"""
import sys
import time
SIZE = 5
total = 0
def print_board(board):
for row in board:
for col in row:
print(str(col).center(4), end='')
print()
def patrol(board, row, col, step=1):
if row >= 0 and row < SIZE and \
col >= 0 and col < SIZE and \
board[row][col] == 0:
board[row][col] = step
if step == SIZE * SIZE:
global total
total += 1
print(f'第{total}种走法: ')
print_board(board)
patrol(board, row - 2, col - 1, step + 1)
patrol(board, row - 1, col - 2, step + 1)
patrol(board, row + 1, col - 2, step + 1)
patrol(board, row + 2, col - 1, step + 1)
patrol(board, row + 2, col + 1, step + 1)
patrol(board, row + 1, col + 2, step + 1)
patrol(board, row - 1, col + 2, step + 1)
patrol(board, row - 2, col + 1, step + 1)
board[row][col] = 0
def main():
board = [[0] * SIZE for _ in range(SIZE)]
patrol(board, SIZE - 1, SIZE - 1)
if __name__ == '__main__':
main()
动态规划 - 子列表元素之和的最大值
说明：子列表指的是列表中索引（下标）连续的元素构成的列表；列表中的元素是int类型，可能包含正整数、0、负整数；程序输入列表中的元素，输出子列表元素求和的最大值，例如：
输入：1 -2 3 5 -3 2
输出：8
输入：0 -2 3 5 -1 2
输出：9
输入：-9 -2 -3 -5 -3
输出：-2
def main():
items = list(map(int, input().split()))
overall = partial = items[0]
for i in range(1, len(items)):
partial = max(items[i], partial + items[i])
overall = max(partial, overall)
print(overall)
if __name__ == '__main__':
main()
说明：这个题目最容易想到的解法是使用二重循环，但是代码的时间性能将会变得非常的糟糕。使用动态规划的思想，仅仅是多用了两个变量，就将原来$O(N^2)$复杂度的问题变成了$O(N)$。
