计算图

反向传播通过使用计算图形在Tensorflow，Torch，Theano等深度学习框架中实现。 更为重要的是，理解计算图上的反向传播结合了几种不同的算法及其变体，如通过时间反向传播和共享权重反向传播。一切转换成计算图，它们仍然是相同的算法 - 只是在计算图上反向传播。

计算图被定义为有向图，其中节点对应于数学运算。 计算图是表达和评估数学表达式的一种方式。

例如，这里有一个简单的数学公式 -

我们可以绘制上述方程的计算图如下。

上面的计算图具有一个加法节点(具有“+”符号的节点)，其具有两个输入变量x和y以及一个输出q。

让我们再举一个例子，稍微复杂些。如下等式。

以上等式由以下计算图表示。

计算图和反向传播都是深度学习训练神经网络的重要核心概念。

前进传递

正向传递是评估由计算图表示的数学表达式的值的过程。 进行前向传递意味着我们将变量的值从左侧(输入)向前传递到输出所在的右侧。

让我们考虑一个例子，给所有的投入赋予一些价值。 假设给所有输入赋予下列值。

通过将这些值赋予输入，我们可以执行正向传递并获得每个节点上输出的以下值。

首先，使用x = 1和y = 3的值来获得p = 4。

然后使用p = 4和z = -3来得到g = -12。下面从左到右前进。

在后向传递中，我们的目的是计算每个输入相对于最终输出的梯度。 这些梯度对于使用梯度下降训练神经网络至关重要。

例如，我们希望以下渐变。所需的渐变

后退传递

我们通过查找最终输出相对于最终输出(本身！)的导数来开始反向传递。 因此，这将导致身份推导，并且值等于一。

计算图现在看起来如下所示 -

接下来，我们将通过“*”操作进行反向传递。将计算p和z处的梯度。 由于g = p * z，所以可以知道 -

已经知道正向传递的z和p值。 因此得到 -

我们想要计算x和y处的梯度 -

然而，我们想要有效地做到这一点(尽管x和g在图中只有两跳，想象它们彼此之间真的很远)。 要有效计算这些值，我们将使用差异化的链式规则。 从连锁规则来看，如下 -

但是已经知道dg/dp = -3，dp/dx和dp/dy很容易，因为p直接取决于x和y。如下公式 -

因此，可以得到 -

另外，对于输入y -

这样做的主要原因是，当必须计算x处的梯度时，只使用了已计算的值，而dq/dx(节点输出相对于同一节点的输入的导数)。使用本地信息来计算全局值。

按照这些步骤来训练一个神经网络 -