Statistics 卡方分布
具有自由度的卡方分布(卡方或 ${X^2}$-分布),k 是 k 个独立标准正态随机变量的平方和的分布。它是统计学中使用最广泛的概率分布之一。这是伽马分布的一个特例。
卡方分布被统计学家广泛用于计算以下内容:
使用样本标准差估计正态分布总体标准差的置信区间。
检查多个定性变量的两个分类标准的独立性。
检查分类变量之间的关系。
研究潜在分布为正态的样本方差。
测试预期频率和观察频率之间差异的偏差。
进行卡方检验(拟合优度检验)。
概率密度函数
卡方分布的概率密度函数为:
公式
${ f(x; k ) = } $ $ \begin {cases} \frac{x^{ \frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}}{2 ^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}, & \text{if $x \gt 0 $} \\[7pt] 0, & \text{if $ x \le 0 $} \end{cases} $
哪里-
${\Gamma(\frac{k}{2})}$ = 具有整数参数 k 的封闭形式值的 Gamma 函数。
${x}$ = 随机变量。
${k}$ = 整数参数。
累积分布函数
卡方分布的累积分布函数为:
公式
${ F(x; k) = \frac{\gamma(\frac{x}{2}, \frac{k}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\\ [7pt] = P (\frac{x}{2}, \frac{k}{2}) }$
哪里-
${\gamma(s,t)}$ = 下不完全伽马函数。
${P(s,t)}$ = 正则化伽玛函数。
${x}$ = 随机变量。
${k}$ = 整数参数。