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概率贝叶斯定理

概率领域最重要的发展之一是贝叶斯决策理论的发展,该理论已被证明对在不确定条件下做出决策有很大帮助。贝叶斯定理是由英国数学家托马斯贝叶斯牧师提出的。贝叶斯定理下给出的概率也称为逆概率、后验概率或修正概率。该定理通过考虑给定的样本信息来求出事件发生的概率;因此称为后验概率。贝叶斯定理基于条件概率公式。
给定事件 ${B}$ 的事件 ${A_1}$ 的条件概率是
${P(A_1/B) = \frac{P(A_1\ and\ B)}{P(B)}}$
给定事件 ${B}$ 的事件 ${A_1}$ 的类似概率是
${P(A_2/B) = \frac{P(A_2\ and\ B)}{P(B)}}$
哪里
${P(B) = P(A_1\ and\ B) + P(A_2\ and\ B) \\[7pt] P(B) = P(A_1) \times P (B/A_1) + P (A_2 ) \times P (BA_2) }$
${P(A_1/B)}$ 可以改写为
${P(A_1/B) = \frac{P(A_1) \times P (B/A_1)}{P(A_1)} \times P (B/A_1) + P (A_2) \times P (BA_2) }$
因此贝叶斯定理的一般形式是
${P(A_i/B) = \frac{P(A_i) \times P (B/A_i)}{\sum_{i=1}^k P(A_i) \times P (B/A_i)}}$
其中 ${A_1}$, ${A_2}$...${A_i}$...${A_n}$ 是由 n 个互斥且详尽的事件组成的集合。
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