Statistics Gamma 分布
伽马分布表示二参数族的连续概率分布。 Gamma 分布一般由三种参数组合设计。
形状参数 $ k $ 和比例参数 $ \theta $。
形状参数 $ \alpha = k $ 和逆尺度参数 $ \beta = \frac{1}{ \theta} $，称为速率参数。
形状参数 $ k $ 和平均参数 $ \mu = \frac{k}{\beta} $。
每个参数都是正实数。伽马分布是由以下准则驱动的最大熵概率分布。
公式
${E[X] = k \theta = \frac{\alpha}{\beta} \gt 0 \ 并且 \ 是 \ 固定的。 \\[7pt] E[ln(X)] = \psi (k) + ln( \theta) = \psi( \alpha)-ln( \beta) \ 并且 \ 是 \ 固定的。 }$
哪里-
${X}$ = 随机变量。
${\psi}$ = digamma 函数。
使用形状 $ \alpha $ 和速率 $ \beta $ 进行表征
概率密度函数
Gamma 分布的概率密度函数为：
公式
${ f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1 } e^{-x \beta}}{\Gamma(\alpha)} \ where \ x \ge 0 \ 和 \ \alpha, \beta \gt 0 }$
哪里-
${\alpha}$ = 位置参数。
${\beta}$ = 比例参数。
${x}$ = 随机变量。
累积分布函数
Gamma 分布的累积分布函数为：
公式
${ F(x; \alpha, \beta) = \int_0^xf(u; \alpha, \beta) du = \frac{\gamma(\alpha, \beta x)}{\Gamma(\阿尔法)}}$
哪里-
${\alpha}$ = 位置参数。
${\beta}$ = 比例参数。
${x}$ = 随机变量。
${\gamma(\alpha, \beta x)} $ = 下不完全伽马函数。
使用形状 $ k $ 和尺度 $ \theta $ 进行表征
概率密度函数
Gamma 分布的概率密度函数为：
公式
${ f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1 } e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k \Gamma(k)} \ where \x \gt 0 \ 和 \k, \theta \gt 0 }$
哪里-
${k}$ = 形状参数。
${\theta}$ = 比例参数。
${x}$ = 随机变量。
${\Gamma(k)}$ = 在 k 处计算的伽马函数。
累积分布函数
Gamma 分布的累积分布函数为：
公式
${ F(x; k, \theta) = \int_0^xf(u; k, \theta) du = \frac{\gamma(k, \frac{x}{\theta})}{\伽玛(k)}}$
哪里-
${k}$ = 形状参数。
${\theta}$ = 比例参数。
${x}$ = 随机变量。
${\gamma(k, \frac{x}{\theta})} $ = 下不完全伽马函数。
